Romer Endogenous Model

Def of Knowledge

知识就是...某种商品. 我们假定知识满足两种特性: non-rival和non-excludable. 那么传授知识就是在生产某种商品.

并对该种商品做出如下假设:

生产其他某种商品的知识是不完美替代的, 因此某种知识存在一定程度的monopoly.
新idea的提出者享有该idea的monopoly right.
知识由R\&D活动产生, R\&D就是生产知识的过程.

Assumption

连续时间$t\ge0$.
固定劳动力$L>0$.
没有physical capital
两个部分:
1. 中间商品(intermediate goods)生产部门, 该部门使用$L\\_{Y}$的劳动力. 注意, 模型中存在产成品, 但是他的生产不使用劳动力
2. R\&D部门, 该部门使用$L_{A}$单位的劳动力.
3. 满足: $L_{Y}+L_{A}=L$. 这代表了工人要么研发, 要么生产中间产品.

Consumer Side

household 最大化utility:$\begin{aligned}U & =\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\log c(t)dt,\rho>0\\ s.t. & \int_0^{\infty}q(t)c(t)dt=x(0)+\int_0^{\infty}q(t)w(t)dt\end{aligned}$. 其中$x_{0}$代表工人初始资产, $q(t)$代表跨期消费价格, 满足:$q(t)=q(t)\equiv exp(-\int_{0}^{t}r(s)ds)$. 其中$r(t)$为利率.
simple consumption Euler equation: $\frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=r(t)-\rho $. 这里没有跨期代替弹性, 因为我们用了log形式的utility. 在计算的过程中跨期代替弹性自动为1.

Producer Side

两种producer: intermediate producer (use R\&D)和knowledge producer (生产idea, 同时雇佣工人生产中间产品, 并以固定价格卖给产成品生产者).假设知识的存货是A单位, A是内生的. 并记每单位的知识都是异质的, 记第i种知识为$i\in[0,A]$.
final goods是用多种知识来生产的. 令其生产函数为关于知识的CES函数: $Y=\left(\int_{0}^{A}y(i)^{\frac{\eta-1}{\eta}}di\right)^{\frac{\eta}{\eta-1}},\eta>1$. $\eta$决定了多种商品之间的关系. 接近正无穷则这些商品都是完美替代品, 正接近1则该生产函数为CD函数. 记$\phi \equiv \frac{\eta-1}{\eta}\in(0,1)$.
一个单位的劳动力只能同时生产一单位的中间产品: $y(i)=l(i)$, $L_{Y}=\int_{0}^{A}l(i)di$. 即某种知识的生产过程不能转交. 进一步假设生产一单位知识需要$l$单位的劳动力, 有:$y=l\wedge L_{Y}=Al$.

$\to$ 产成品的生产函数为: $Y=\left(\int_{0}^{A}(\frac{L_Y}{A})^{\phi}di\right)^{\frac{1}{\phi}}=A^{\frac{1-\phi}{\phi}}L_{Y}$. 因为是A的函数, 所以只要A增长了, 那么产成品也会增长.
final good生产商完美竞争, 并且不使用劳动力生产.

Brief on Market Structure

市场结构brief: idea 由参与研发的工人产生, 这些工人对自己的idea有唯一所有权. 同时, 有idea的工人可以用$w(t)$的工资来雇佣别的工人生产中间产品. 工人可以在研发和生产中间产品之间自由移动. 中间产品就是idea变现的唯一手段, 因为中间产品可以由固定价格$p(t)$出售给产成品生产商. 在产成品生产商这里, 价格是给定的, 生产是不需要工人的, 市场是完美竞争的, 所以其利润为0.

Induction

产成品生产者要做的就是最大化利润: $\max Y-\int_{0}^{A}p(i)y(i)di\\s.t.Y=(\int_{0}^{A}y(i)^{\phi}di)^{\frac{1}{\phi}}$.

产成品生产者

其中产成品生产者选择$y(i)$, 注意, 这里的i是许多种知识. 即产成品生产者不可能只用一种知识生产.

将Y带入原式,得到新式: $\int_{0}^{A}y(i)^{\phi}di^{\frac{1}{\phi}}-\int_{0}^{A}p(i)y(i)di$. 对每个i都FOC, 得到: $(\int\limits_{0}^{A}y(i)^{\phi}di)^{\frac{1-\phi}{\phi}}y(i)^{\phi-1}-p(i)=0$.

$\to y(i)^{\phi-1}=p(i)Y^{\phi-1}\to y(i)=p(i)^\frac{1}{\phi-1}Y=p(i)^{-\eta}Y$, 得到某种知识i的demand function.

知识生产者

知识生产者要做的事情就是最大化其利润: $\pi(i)=p(i)y(i)-wl(i)$, s.t. $y(i)=l(i), y(i)=p(i)^{-\eta}Y$.

$\to max\ p(i)^{i-\eta}Y-wp(i)^{-\eta}Y=Y[P(i)^{i-\eta}-wp(i)^{-\eta}]\to p(i)=\frac{\eta}{\eta-1}w$. 价格等于成本乘上markup.

当$\eta$增加的时候, 代表知识之间的替代性增强, 代表市场markup减小, 代表价格下降.

带回利润函数, 得: $\begin{aligned}\pi(i)&=p(i)y(i)-wl(i)\\&=(\frac{\eta}{\eta-1}-1)wl(i)=\frac{1}{\eta-1}wL(i)=\frac{1-\phi}{\phi}wl(i)\end{aligned}$, 可知利润和市场势力成正比.

假设知识的生产函数为$\dot{A}(t)=BL_{A}(t)A(t),B>0,A(0)>0\rightarrow\frac{\dot A(t)}{A(t)}=BL_{A}(t)\equiv g_{A}(t)$.

再假设一个idea能给提出者终身的收益, 则任何在$\tau \ge t$时刻提出的idea, 其终身价值的现值为$\int_{t}^{\infty}\frac{q(\tau)}{q(t)}\pi(i,\tau)d\tau $.

其中$\pi(i,\tau)$为知识i在$\tau$时刻的利润, 折现因子为$\tau$时刻的消费价格和我们给定的基准时刻t的消费价格之比.

再假设生产知识的部门是free entry的. 即任何人都能在t时刻用工资$w(t)$雇佣$\frac{1}{BA(t)}$个劳动力来生产. 这是因为呆在知识生产部门的人的知识的收益的现值一定大于等于其在中间产品部门的工资. 即: $BA(t)\int_{t}^{\infty}\frac{q(\tau)}{q(t)}\pi(i,\tau)d\tau\leq w(t)$. 小于等于的目的是避免均衡的时候$L_{A}^{* }$取到负值, 因为如果取等号的话, 如果此时知识的市场势力非常小, 那么均衡状态下研发的劳动力会变成负数.

Symmetric Equilibrium

对称均衡是指: 所有人都是一样的情况下的均衡. 因此所有的labor都是同质的, 则他们的生产效率, 消费都是一样的, 因此对于任意的生产者, 有: $y(i,t)=y(t)=l(t)=l(i,t)$这是说因为所有人都是一样的, 所以所有类别的商品的生产情况也是一样的. 根据假设10, 我们可得: $Y(t)=A(t)^{\frac{1-\phi}{\phi}}L_{Y}(t)\to lnY=\frac{1-\phi}{\phi}lnA+lnL\xrightarrow{Derivative} g_{Y}(t)=\frac{1-\phi}{\phi}g_{A}(t)+g_{L_{Y}}(t)$.

注意一下, 在中间产品部门, 劳动力不会永远增长. 因为总劳动力L是固定的.

Solution to the model

用以上的信息我们能够解最优化问题了.

首先guess $g_{A}$ 为常数. 这么做的好处是当它为常数的时候代表$\dot A /A$为常数, 进而代表$BL_{A}$为常数. 因为B是常数, 所以参与研发的劳动力也是常数, 因此$L_{Y}$也是常数. 这代表了$g_{Y}(t)=\frac{1-\phi}{\phi}g_{A}(t)=\frac{1-\phi}{\phi}BL_{A}$, 方便我们分析.

然后可知, 中间产品部门的劳动力$L_{Y}=A(t)l(t)$. 即知识的数量, 和为了生产该种知识所雇佣的劳动力.

因为$L_{Y}$为常数, 所以知识的数量和所雇佣的劳动力成反比.

进而通过产成品的完全竞争市场可得:

$Y(t)=\int_{0}^{A(t)}p(t)y(t)di=A(t)p(t)l(t)=\frac{\eta}{\eta-1}w(t)(L-L_{A})$. (Y是毛利润, 等于成本) 积分部分能直接把$A(t)$提出来是因为完全竞争市场下每个产成品的成本都是一样的, 即$p(t)y(t)$都是一样的. $w(t)(L-L_{A})$ 是total wage payment, 因为$L_{Y}$常数, 市场势力也是常数, 所以可以得到: $g_{Y}=g_{w}$.

中间产品的利润为$\pi(t)=\frac{1-\phi}{\phi}w(t)l(t)=\frac{1-\phi}{\phi}\frac{w(t)}{A(t)}(L-L_{A})$.

$\to g_{\pi}=g_{w}-g_{A}=g_{Y}-g_{A}=(\frac{1-\phi}{\phi}-1)g_{A}=\frac{1-2\phi}{\phi}g_{A}$. 这意味着知识生产者的利润增长率可以是负数. 即$1-2\phi<0$时, $\phi>\frac{1}{2}$. 注意$\phi$是市场势力, 所以当知识生产部门的竞争力越强的时候, 其利润增长率越慢. 如果跨过了0.5这个临界点, 那么意味着它的利润开始shrink.

通过消费的欧拉方程可知: $g_{c}=r-\rho$. 那么当市场出清的时候, 有$g_{c}=g_{Y}=g_{C}$.

那么在某一个时刻$\tau>t$, 知识利润为: $\pi(\tau)=\pi(t)e^{g_{\pi}(\tau-t)},\tau\ge t$, 而该期价格为$q(\tau)=q(t)e^{-r(\tau-t)},\tau\ge t$.

可得利润的现值为: $\begin{aligned}\int_{t}^{\infty}\frac{q(\tau)}{q(t)}\pi(\tau)d\tau&=\int_{t}^{\infty}e^{-r(\tau-t)}\pi(t)e^{g_{\pi}(\tau-t)}dt\\&=\pi(t)\int_{t}^{\infty}e^{-(\tau-g_{\pi})(\tau-t)}d\tau\\&=\frac{\pi(t)}{r-g_{\pi}}\\for\quad r-g_{\pi}&=g_{c}+\rho-(g_{Y}-g_{A})=g_{Y}+\rho-g_{Y}+g_{A}=\rho+g_{A}=\rho+BL_{A}\end{aligned}$.

可得free entry condition: $\frac{1-\phi}{\phi}\frac{L-L_{A}}{p+g_{A}}\frac{w(t)}{A(t)}\leq\frac{1}{B}\frac{w(t)}{A(t)}$. 用$g_{A}=BL_{A}$带回去, 可得: $\frac{1-\phi}{\phi}(L-L_{A})\leq\frac{\rho}{B}+L_{A}$.

化简, 得:$L_{A}\ge (1-\phi)L-\frac{\rho}{B}\phi\to L_{A}^{* }=max(0,(1-\phi)L-\frac{\rho}{B}\phi)$. 注意一下, 这个正的值是个常数, 这意味着均衡的时候$L_{A}^{* }$外生. 能让均衡劳动取到正值的条件是该国人口足够patient, 知识足够monopoly.

此外有: $\begin{cases}g_{A}^{* }=BL_{A}^{* }=\max[0,(1-\phi)BL-\phi p]\\\\g_{Y}^{* }=\frac{1-\phi}{\phi}g_{A}^{* }=g_{C}^{* }=g_{W}^{* },g_{T}^{* }=g_{Y}^{* }-g_{A}^{* }\end{cases}$

Comparative Statistics

week 5 L2

Social Planner's Problem

decentralized market和social planner最大的区别就是在前者中, 劳动力去哪个sector由工资决定.

sp要做的也是最优化representative household的utility.

Implication

什么是内生模型的driver? : 产权保护和非完全竞争的知识生产市场. 这两者保证了生产知识是有正利润的. 否则没人会生产知识. 其次, 知识生产的函数也是重点: $\dot A =f(A)$, 过去的知识会促进未来知识的生产. 否则知识生产的速度会很慢.
Policy Implication of Romer model? : we should subsidize innovation sector to ensure labor supply in this sector is equal to the case under social planner.