索洛模型是现代宏观增长模型的基础.

Assumption

1. 三个生产要素：K，L，A，产出记为$Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))$.

   1. t通过生产要素进入产量中，所以只有当生产要素随时间变化时，产出才会随时间变化。
   2. 记AL为有效劳动。模型中有个关于这个的重要结论

2. Constant return to Scale：$cF(K,AL)=F(cK,cAL)$.

   1. 现实依据有两个：1.要么是很大的经济体，其中每个部分分工完善。2.忽略了别的生产要素的重要性，即假设只有这三个是最重要的。

   2. 可将F转化为f：$y=f(k)=F(\frac{K}{AL},1)=\frac{1}{AL}F(K,AL)$. for k为单位有效劳动的平均资本量，y为单位有效劳动的平均产出。

      1. 该式表现了：单位有效劳动的生产率仅和平均资本量有关

3. 边际产出为正, 但是diminishing returns. 即$F_{K},F_{L}>0\wedge F_{KK},F_{LL}<0$.

4. $f(0)=0,f’(k)>0,f’’(k)<0,\lim_{ k \to \infty }f’(k)=0,\lim_{ k \to 0 }f’(k)=\infty$. (Inada condition,保证路径不发散)

   1. 凹向原点的函数，意味着资本的边际产出为正，且边际产出随资本量越来越少.

5. 时间t连续，劳动增长率n和知识增长率g外生，得：$L’(t)=nL(t),\,\,A’(t)=gA(t)$. (充满debate的假设, 因为现实生活中没人观察到过这样的外生增长率)

   1. 由此性质可得, $lnL(t)=[lnL(0)]+nt\ \wedge\ lnA(t)=[lnA(0)]$.
   2. 同理, $L(t)=L(0)e^{nt}\ \wedge \ A(t)=A(0)e^{gt}$.

6. 总产出用于消费和投资, 并令saving rate s外生. 用于投资的产出没有折损, 而现存的资本有折旧率$\delta$. 因此得: $K^{\prime}(t)=sY(t)-\delta K(t)$. 最终假设$n+\delta+g>0$.

   1. 这里可以得出中间结论: 当均衡的时候, $I_{t}=S_{t}=sY_{t}=sF(K_{t},A_{t}L_{t})$. 上面那个差分方程也是均衡的时候才满足的. 如果不均衡的话(real world) 就需要更复杂的手段来计算了.
   2. $K_{t}$的差分方程是之后模型的决定式, 非常重要.

 

Induction

Explanation: 用$f(k)$来代替$F(K,L)$的形式, $f$​记为intensive form.

为什么我们关心capital? 因为我们想知道的是output在知道初始值之后任意时刻的值, 而output由capital决定, 所以通过capital 的差分方程 我们只要知道了capital初始值则可以知道output任意时刻的值, 进而知道growth rate.

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For given $y\equiv \frac{Y}{AL}, k\equiv \frac{K}{AL}$. we have: $y=\frac{Y}{AL}=\frac{F(K,AL)}{AL}=F(\frac{K}{AL},1)=F(k,1)\equiv f(k)$.

the intensive form $f(k)$ satisfies:

1. $f'(k)>0,f''(k)<0$
2. $f'(0)=\infty, f'(\infty)=0$​​. (Inada Condition)

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这部分不用看, 纯纯是Romer书上的. 金贡用的差分方程.

$k'(t)=(\frac{K}{AL})'(t)=\frac{K'AL-K(A'L+AL')}{A^{2}L^{2}}$

$\to =\frac{K'}{AL}-\frac{KA'}{A^{2}L}-\frac{KL'}{AL^{2}}=\frac{K'}{AL}-k(n+g)$

$\to =sy-k(n+g+\sigma)=sf(k)-k(n+g+\sigma)$.

由稻田条件得, $sf(k)$和$k(n+g+\sigma)$​必然只有两个交点: 0点和k*点.

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由假设中的$K_{t}$差分方程得: $K_{t+1}=sY_{t}-\delta K_{t}$.

$\to \frac{K_{t+1}}{A_{t+1}L_{t+1}}\cdot \frac{A_{t+1}L_{t+1}}{A_{t}L_{t}}=s\frac{Y_{t}}{A_{t}L_{t}}-\delta\frac{K_{t}}{A_{t}L_{t}}$. For $\frac{A_{t+1}L_{t+1}}{A_{t}L_{t}}=(1+g)(1+n)$

$k_{t+1}\equiv \Psi(k_{t})=\frac{s}{1+g+n+gn}f(k_{t})+\frac{1-\sigma}{1+g+n+gn}k_{t}$​.

收敛的条件是$|\Psi'(k^{*})|<1$. 为什么, 见: Difference Equation for Macroeconomics

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在steady state点的时候, 有: $k_{t+1}=k_{t}=k^{*}$. 满足:

$sf(k^{*})=(\delta+g+n+gn)k^{*}$.

implication: 当满足在某个点的时候, investment 恰好等于depreciation, 则投资能刚好抵消折旧, 有效人均资本量不再随时间变化.

此时满足有效人均消费$c_{t}=y_{t}-sy_{t}$, rt:

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最后回忆一下相图.没啥好回忆的...

Problem

什么决定了solow model中的 exogenous saving rate?

1. social planner决定了最优saving rate (使用saving rate作为政策改变群众行为)
2. 群众自己的saving rate作平均得到社会平均saving rate.