对于任意的序列$x_{t+1}=ax_{t}+b$, 只要$a\not= 1$, 则有: $x^{*}=\frac{b}{1-a}$.

证:$x_{t+1}-x^{*}=ax_{t}+b-x^{*}=ax_{t}+b-\frac{b}{1-a}=ax_{t}-a\frac{b}{1-a}=a(x_{t}-x^{*})$.

a 决定了是否收敛

implication: a被称为convergence, 因为只要a很小, 那么$x_{t+1}-x^{*}$也会很小, 那么它收敛地会很快.

我们解这个差分方程, 得到:

$x_{t}=x^{*}+a^{t}(x_{0}-x^{*})$. 则 if $|a|<1$​, 则convergence, 当a为正数时是单调收敛, a为负数时时振幅减小的波.

在linear system里面, local stability(接近于某一点为起始点的时候才会收敛) $\to$​ global stability(无论从哪个点出发都会收敛到同一点).

In general, 我们在宏观里考虑的是nonlinear的差分方程: $x_{t+1}=\phi(x_{t})$. 其steady state为$x^{*}=\phi(x^{*})$, 不一定有解.

有解的判决条件是$|\phi'(x^{*})|<1$.

证: $x_{t+1}=\phi(x_{t})\approx \phi(z)+\phi'(z)(x_{t}-z)\to x_{t+1}=\phi(x_{t})\approx \phi(x^{*})+\phi'(z)(x_{t}-x^{*})\to x_{t+1}-x^{*}=\phi'(x^{*})(x_{t}-x^{*})$.

对于线性系统来说, $\phi'$为$a$. 所以只要它的绝对值小于1了, 就代表收敛, 代表有解. 非线性系统用这种方法得证.

a 决定了收敛的速度

对于$x_{t}=x^{*}+a^{t}(x_{0}-x^{*}),a\in(0,1)$, $x_{0}$到$x^{*}$之间的距离缩小一半所需的时间是:$t=\frac{ln(0.5)}{ln(a)}$.

证: $x_{t}=x^{*}+a^{t}(x_{0}-x^{*}),a\in(0,1)\to ln(x_{t}-x^{*})=tln(a)+ln(x_{0}-x^{*})$

$\to ln(\frac{x_{t}-x^{*}}{x_{0}-x^{*}})=tln(a)\to for\ \ \frac{x_{t}-x^{*}}{x_{0}-x^{*}}=0.5\to Q.E.D$.