Ramsey Cass Koopmans
def: centralized equilibrium: 指由social planner决定的均衡. 与之相反的是decentralized equilibrium (market equilibrium), 指由个人协商决定的均衡.
Assumption
- 离散时间.
- $Y_{t}=F(K_{t},L)$, 为了简单起见, 我们假设A=1, $L_{t}=L$.
- 折旧率为$\delta$. 则:$K_{t+1}=(1-\delta)K_{t}+I_{t},\ \delta\in(0,1)$.
- 生产的产品全部用来消费或投资. $C_{t}+I_{t}=Y_{t}$.
3和4推导出$K_{t+1}$的差分方程为: $C_{t}+K_{t+1}=F(K_{t},L)+(1-\delta)K_{t}$. (sequence of resource constraints, 这个名称仅在social planner做决策的时候使用).
- Social planner maximize intertemporal utility:$U(\{c_{t}\}_{t=0}^{\infty})=\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}u(c_{t}),\ \beta\in(0,1)$.
- 每期的效用$u(c_{t})$仅由当期消费决定, 和往期消费无关. (time separable) 这是一个很强的假设
- $\beta$是discount factor.
- 人不会死, 这是一个Infinite Horizon. 虽然这么假设了, 但实际上实证结果和该模型的结果差别不大. 所以证明人们确实不太会考虑太远的未来.
从3,4,5得出, social planner problem即为一个最优化问题:
$$max\ U(\{c_{t}\} _{t=0}^{\infty} )=\sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t} u(c_{t} ) \\ s.t.\ \beta \in(0,1) \wedge C_{t}+K_{t+1} =F(K_{t} ,L)+(1-\delta)K_{t} $$
注意一下我们的constraint是对每一个t都成立的, 所以有许多个constraint, 而不是两个.
拉格朗日函数为:$\mathcal{L}=\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}u(c(t))+\sum_{t=0}^{\infty} \lambda_{t}[f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}-c_{t}-k_{t+1}]$.
$\lambda$是shadow price, 这就是指如果想增加constraint 一单位, 对应增加的utility.
Social planner能决定的东西有三个: $c_{t},k_{t+1},\lambda_{t}$. 所以分别对这三个做FOC.
$$\left\{\begin{array}{l}c_{t}:\beta^{t}u'(c_{t})-\lambda_{t}=0
\\k_{t+1}:-\lambda_{t}+\lambda_{t+1}[f'(k_{t+1})+1-\delta]=0 (这tm不是差分方程吗????写成导数形式?)
\\ \lambda_{t}:f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}-c_{t}-k_{t+1}=0
\end{array}\right.$$
Interpretation:
- $\beta^{t}u'(c_{t})$是未来多消费一单位的consumption utility的现值, 是marginal utility of consumption, 而$\lambda_{t}$是shadow price, 是多消费一单位的成本. 所以这个等式意味着多消费一单位产品带来的收益等于其成本的时候最优.
- 第二个等式包含了不同的时间. 我们可以把最左边的$\lambda_{t}$提到等式右边去, 就会得到t时期的影子价格等于下一期的影子价格乘上market return ($f'(k_{t+1})$为marginal return of capital, $1-\delta$代表的是折旧剩下的资本率, 这就是说净收益率是资本的边际产出减去其折旧率, 等于新增产出率. 注意资本本身也是产品). 影子价格意味着多消费一单位的utility现值, 那么该式就意味着social planner决定t时期要挪多少consumption到investment上, 最优的时候就是t期消费一单位的效用现值等于挪一单位到investment上时, 下期该单位多创造的产品效用现值(包含了capital, 该等式暗含了下期capital全部用来消费.). 因此如果当期消费一单位的效用现值大于挪一单位带来的收益的时候, 就少挪了, 导致当期消费增加, 平均消费一单位产品的效应减少. 最终两者相等.
- 第三个是对shadow price的命令, 但实际上这个还是意味着budget constraint满足.
将第一个和第二个等式合并消去$\lambda_{t}$, 可得Euler Condition: $ u'(c_{t})=\beta u'(c_{t+1})[f'(k_{t+1})+1-\delta]$. 解释和上面的第二点一样…就是marginal cost=marginal benefit.
从欧拉条件可得每两个相邻期内有:
- MRS=$\beta\frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}$. MRT = $f'(k_{t+1})+1-\delta$ 有另外的解释: internal trade off (ratio of marginal utility, 即未来一期的utility gain multiplier)= external trade off (????没讲就是market return):
- MRT (marginal rate of transformation) = MRS的倒数 = $f'(k_{t+1})+1-\delta$.
Induction
先说一下这个模型和索洛模型的区别. 索洛模型中的saving rate是外生的, 所以每期的消费率也是外生的, 所以根本就不用考虑究竟多少用于消费. 而这个模型的消费是内生的, 所以要考虑消费.
从欧拉等式和resource constraint可得一个方程组:
$\left\{\begin{array}{l} u'(c_{t})=\beta u'(c_{t+1})[f'(k_{t+1})+1-\delta]
\\c_{t}+k_{t+1}=f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}
\end{array}\right.$, s.t. 必要条件$\left\{\begin{array}{l} k_{0}>0
\\lim_{T\to\infty}\beta^{T}u'(c_{T})k_{T+1}=0\ \ (transversality\ condition)
\end{array}\right.$
横截性条件的作用就是为了使得系统收敛. 如果违反的话就代表$lim_{T\to\infty}u'(c_{T})k_{T+1}\to\infty$, 代表未来某期边际效益无限大. 此时只有一种可能: 要么未来资源枯竭了,要么未来被强制不准消费, 所有资源都用在资本上(不符合最优化条件). 没人有消费, 导致消费一点就开心死了 (Inada condition).
Steady State
我们先考虑一个稳定点的情况. 假设存在稳定点, 那么令其为$(c^{*},k^{*})$, 有:$\left\{\begin{array}{l} [f'(k^{*})+1-\delta]=1/\beta
\\c^{*}=f(k^{*})-\delta k^{*}
\end{array}\right.\\s.t.必要条件:1/\beta -1+\delta >0$ .
和golden rule consumption比较一下: 黄金消费水平是指最大化消费水平, 即:$max\ c_{t}\\ s.t.c_{t}=f(k_{t})-\delta k_{t}$
对其拉格朗日函数求FOC, 得$f'(k_{t})-\delta=0$ 时满足. 可见此时得$k_{g}>k^{*},c_{g}<c^{*}$.
Phase Diagram
在我们假设了稳定点存在之后, 可以从方程组得出c和k的相图.
Quantitative Analysis
rt: $\left\{\begin{array}{l} u'(c_{t})=\beta u'(c_{t+1})[f'(k_{t+1})+1-\delta]
\\c_{t}+k_{t+1}=f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}
\end{array}\right.$, s.t. 必要条件$\left\{\begin{array}{l} k_{0}>0
\\lim_{T\to\infty}\beta^{T}u'(c_{T})k_{T+1}=0\ \ (transversality\ condition)
\end{array}\right.$
先找出steady state: 在稳定点处有: $\left\{\begin{array}{l} [f'(\bar{k})+1-\delta]=1/\beta=\bar{R}(Gross\ \ rate\ \ of\ \ investment)
\\bar{c}=f(\bar{k})-\delta \bar{k}
\end{array}\right.$.
再对稳定点的邻域内某点进行对数线性化 (见:Log-Linearization):
$c_{t}+k_{t+1}=f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}$
$\to dc_{t}+dk_{t+1}=f'(k_{t})dk_{t}+(1-\delta)dk_{t}\to \bar{c}\hat{c_{t}}+\bar{k}\hat{k}_{t+1}=f'(\bar{k})\bar{k}\hat{k}_{t}+(1-\delta)\bar{k}\hat{k}_{t}= [f'(\bar{k})+1-\delta]\bar{k}\hat{k}_{t}=\bar{k}\hat{k}_{t}/\beta$.
$u'(c_{t})=\beta u'(c_{t+1})[f'(k_{t+1})+1-\delta]=\beta u'(c_{t+1})R_{t+1}$
$\to u”(\bar{c})dc_{t}=\beta u”(\bar{c})dc_{t+1}\cdot \bar{R}+\beta u'(\bar{c})dR_{t+1}\to u”(\bar{c})\bar{c}\hat{c}_{t}=\beta \bar{R}u”(\bar{c})\bar{c}\hat{c}_{t+1}+\beta u'(\bar{c})\bar{R}\hat{R}_{t+1}$.
$\to u”(\bar{c})\bar{c}(\hat{c}_{t+1}-\hat{c}_{t})=-\beta u'(\bar{c})\bar{R}\hat{R}_{t+1}$,
for $R_{t+1}=f'(k_{t+1})+1-\delta\to dR_{t+1}=f”(\bar{k})dk_{t+1}\to \bar{R}\hat{R}_{t+1}=f”(\bar{k})\bar{k}\hat{k}_{t+1}$.
$\to -\beta u’f”\bar{k}\hat{k}_{t+1}=u”\bar{c}(\hat{c}_{t+1}-\hat{c}_{t})\to -\beta\frac{u’}{u”\bar{c}}f”\bar{k}\hat{k}_{t+1}=\hat{c}_{t+1}-\hat{c}_{t}$.
define elasticity of consumption utility $\sigma (c)\equiv-\frac{u”\bar{c}}{u’}>0$, 能决定utility function concave的程度, 即牺牲今天消费的意愿程度, 值越大该意愿越小, 反之相反(证明只要把该函数带入原等式).
此外, 由该等式可得任一点下$c,R,k$的关系.
接着将$\hat{c}_{t+1}$和$\hat{k}_{t+1}$的等式化为关于其滞后一期的线性等式, 得到:
$\left\{\begin{array}{l}\hat{c}_{t+1}=\hat{c}_{t}+\frac{\beta f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{k}}{\sigma(\bar{c})}\hat{k}_{t+1}\\ \bar{c}\hat{c}_{t}+\bar{k}\hat{k}_{t+1}=\frac{1}{\beta}\bar{k}\hat{k}_{t}\end{array}\right.\to \begin{pmatrix}\hat{c}_{t+1}\\ \hat{k}_{t+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\frac{\beta f^{\prime\prime}(\overline{k})\overline{c}}{\sigma(\overline{c})}&\frac{f^{\prime\prime}(\overline{k})\overline{k}}{\sigma(\overline{c})}\\\ – \frac{\overline{c}}{\overline{k}}&\frac{1}{\beta}\end{pmatrix}\left(\begin{matrix}\hat{c}_{t}\\ \hat{k}_{t}\end{matrix}\right)\to \binom{\hat{c}_{t+1}}{\hat{k}_{t+1}}=A\binom{\hat{c}_{t}}{\hat{k}_{t}}$.
其中$A=\left(\begin{matrix}{a_{11}} & {a_{12}}\\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{matrix}\right),\begin{cases}a_{11}=1-\frac{\beta f^{\prime\prime}(k)\bar{c}}{\sigma(\bar{c})}\\ a_{12}=\frac{f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{k}}{\sigma(\bar{c})}\\ a_{21}=-\frac{\bar{c}}{\bar{k}}\\ a_{22}=\frac{1}{\beta}\end{cases}$. 该式意味着下一期的两个变量同时由当期的两个变量决定.
回忆一下, 它的解由特征根和特征矩阵决定. 有:$A=V\Lambda V^{-1},\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix},V=\begin{pmatrix}v_{11} & v_{12}\\ v_{21} & v_{22}\end{pmatrix}$,
$\to $将$\left(\begin{matrix}\hat{c}_{t}\\ \hat{k}_{t}\end{matrix}\right)$做同样的system带入该system, 可以得到$\left(\begin{matrix}\hat{c}_{t+1}\\ \hat{k}_{t+1}\end{matrix}\right)=V\Lambda^{t+1}V^{-1}\left(\begin{matrix}\hat{c}_{0}\\ \hat{k}_{0}\end{matrix}\right)=V[\begin{matrix}\lambda_{1}^{t+1}&0\\0&\lambda_{2}^{t+1}\end{matrix}]V^{-1}\left(\begin{matrix}\hat{c}_{0}\\ \hat{k}_{0}\end{matrix}\right)$.
解为:$\begin{cases}\hat{c}_{t}=v_{11}\frac{v_{22}\hat{c}_0-v_{12}\hat{k}_0}{v_{11}v_{22}-v_{21}v_{12}}\lambda_1^{t}-v_{12}\frac{v_{21\hat{c}_0}-v_{11}\hat{k}_0}{v_{11}v_{22}-v_{12}v_{21}}\lambda_2^{t}\\ \\ \hat{k}_{t}=v_{21}\frac{v_{22}\hat{c}_0-c_{12}\hat{k}_0}{v_{11}v_{22}-v_{12}v_{21}}\lambda_1^{t}-v_{22}\frac{v_{21\hat{c}_0}-v_{11}\hat{k}_{0}}{v_{11}v_{22}-v_{12}v_{21}}\lambda_2^{t}\end{cases}$.
可知: 未来任意时刻的投资消费组合由初始组合和特征值决定.
回忆一下, $tr(A)=\lambda_{1}+\lambda_{2},det(A)=\lambda_{1}\lambda_{2}$. 为了使得存在稳定点, 我们需要当$_{T\rightarrow\infty},\begin{cases}\hat{c_{t}}=0\\ \hat{k_{t}}=0\end{cases}$. 则:$|\lambda_{1}|<1,|\lambda_{2}|<1$
for $tr(A)=1-\frac{\beta f^{\prime\prime}(k)\overline{c}}{\sigma(\overline{c})}+{\frac{1}{\beta}}>2$, $\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\frac{1}{\beta}>1$, 则可知$\lambda_{1},\lambda_{2}>0\wedge(\lambda_{1}>1\vee\lambda_{2}>1)$.
我们已经知道其中一个特征值大于1, 这个被称为explosive root, 因为他会使得无限期的时候消费要么正无穷要么负无穷. 我们还需知道另一个root, 可用特征多项式: $p(\lambda)=\lambda^{2}-tr(A)\lambda+det(A)=(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})$.
考虑$\lambda = 1$, 因为我们关系的是两个roots 和1的关系. 有:$p(\lambda=1)=(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)=1-(\lambda_1+\lambda_2)+\lambda_1\lambda_2=\frac{\beta f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{c}}{\sigma(\bar{c})}<0$.
得: 一个根大于1, 一个根$\in (0,1)$. 在0,1之间的成为stable root.
注意到原系统当$T\rightarrow\infty $时, stable root会趋近于0, 导致unstable root 占优. 为了避免这种情况我们需要${T\rightarrow\infty}(v_{21}\hat{c}_{0}-v_{11}\hat{k}_{0}=0)$. $\to \hat{c}_{0}=\frac{v_{11}}{v_{21}}\hat{k}_{0}$.(stable arm) (假设$\lambda_{2}$为unstable root).
得到: $\begin{cases}\hat{c}_{t}=V_{11}\frac{V_{22}\frac{V_{11}}{V_{21}}-V_{12}}{V_{11}V_{22}-V_{12}V_{21}}\lambda_{1}^{t}\hat{k}_{0}=\frac{V_{11}}{V_{21}}\lambda_{1}^{t}\hat{k}_{0}\\ \hat{k}_{t}=V_{21}\frac{V_{22}\frac{V_{11}}{V_{21}}-V_{12}}{V_{11}V_{22}-V_{2}V_{21}}\lambda_{1}^{t}\hat{k}_{0}=\lambda_{1}^{t}\hat{k}_{0}\end{cases}$.
可得相图:
蓝的是stable arm, 红的是unstable arm, 代表了$\binom{\hat{c}_{t}}{\hat{k}_{t}}$解中stable root的系数为0的情况.
Method of undetermined coefficients
我们通过假设$\binom{\hat{c}_{t}}{\hat{k}_{t}}$是线性的来得到和之前同样的结果, 这个方法猜测的成分很大.
对于resource constraint $\overline{c}\widehat{c}_{t}+\overline{k}\widehat{k}_{t+1}=\frac{1}{\beta}\overline{k}\widehat{k}_{t+1}$, 假设$\begin{cases}\hat{c}_{t}=\psi_{ck}\hat{k}_{t}\\ \hat{k}_{t+1}=\psi_{kk}\hat{k}_{t}\end{cases}\to \bar{c}\psi_{ck}\hat{k}_{t}+\bar{k}\psi_{kk}\hat{k}_{t}=\frac{1}{\beta}\bar{k}\hat{k}_{t}$.
$\to [\overline{c}\psi_{ck}+\overline{k}\psi_{kk}-\frac{1}{\beta}\overline{k}]\widehat{k}_{t}=0,\forall\widehat{k}_{t}\to \overline{c}\psi_{ck}+\overline{k}\psi_{kk}-\frac{1}{\beta}\overline{k}=0$.
对于consumption euler equation $\hat{c}_{t+1}=\hat{c}_{t}+\frac{\beta f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{k}}{\sigma(\bar{c})}\hat{k}_{t+1}$, 根据前假设有 $\hat{c}_{t+1}=\psi_{ck}\hat{k}_{t+1}=\psi_{ck}\psi_{kk}\bar{k}_{t}$.
$\to [\psi_{ck}\psi_{kk}-\psi_{ck}-\frac{\beta f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{k}}{\sigma(\bar{c})}\psi_{kk}]\hat{k}_{t}=0,\forall \hat{k}_{t}\to \psi_{ck}\psi_{kk}-\psi_{ck}-\frac{\beta f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{k}}{\sigma(\bar{c})}\psi_{kk}=0$.
合并两式消去$\psi_{ck}$, 得到: $\psi_{ck}=(\frac{1}{\beta}-\psi_{kk})\frac{\overline{k}}{\overline{c}}$, 带入$\psi_{ck}\psi_{kk}-\psi_{ck}-\frac{\beta f^{\prime\prime}(\bar{k})\bar{k}}{\sigma(\bar{c})}\psi_{kk}=0$, 有:$\psi_{kk}^{2}-(1-\frac{\beta f^{\prime\prime}(k)\overline{c}}{\sigma(\overline{c})}+\frac{1}{\beta})\psi_{kk}+\frac{1}{\beta}=0$. 其一次项系数和常数项就是tr(A)和det(A), 解和之前的方法一样.
已阅
nbcs