Single Variable

对于任意函数 $y_{t}=f(x_{t})$, 假设存在稳定点, 记为$(\bar{y},\bar{x})$. 则在该点的邻域内有:$y_{t}-\bar{y}\approx f'(\bar{x})(x_{t}-\bar{x})$.

两边同除$\bar{y}$, 得: $\frac{y_{t}-\bar{y}}{\bar{y}}\approx (\frac{f'(\bar{x})\bar{x}}{f(\bar{x})})\frac{x_{t}-\bar{x}}{\bar{x}}$. 注意一下$\frac{y_{t}-\bar{y}}{\bar{y}}$为y的percentage change, 而$\frac{x_{t}-\bar{x}}{\bar{x}}$ 为x的percentage change. $(\frac{f'(\bar{x})\bar{x}}{f(\bar{x})})$为elasticity.

记$\hat{y}_{t}\equiv ln (y_{t})-ln(\bar{y})$, 可推出$\hat{y}_{t}\approx \frac{y_{t}-\bar{y}}{\bar{y}}=\frac{dy}{\bar{y}},for\ \ y_{t}\in o(\bar{y},\epsilon)$. $\longrightarrow \hat{y}_{t}\approx (\frac{f'(\bar{x})\bar{x}}{f(\bar{x})})\hat{x}_{t}$.其中 $\hat{y}_{t},\hat{x}_{t}$ 都是percentage change.

该线性化过程对任何在steady state附近连续光滑函数都成立, 而且只需要两步就可以把任何函数变成这个形式. 因为我们知道了稳定点下的值和导数, 所以可以很方便地用该线性化过程求解.

Multiple Variable

对任意函数$y_{t}=f(X_{t})$, 对其每一个变量都在稳定点附近取全微分, 有: $dy=\sum \frac{\partial y}{\partial x_{i}}dx_{i} \to \hat{y}=\frac{dy}{\bar{y}}=\sum \frac{\partial y \bar{x}}{\partial x \bar{y}} \hat{x}=\sum \frac{f_{x}(\bar{x})\bar{x}}{f(\bar{x})}\hat{x}$.

用SOC逼近

哥大有人在用这种方法, 但是计算很烦.